Реферат по математике Воробьев Александр Сергеевич обучающийся 11 класса мбоу «сош №12 г. Горно-Алтайска»

Главная страница
Контакты

    Главная страница


Реферат по математике Воробьев Александр Сергеевич обучающийся 11 класса мбоу «сош №12 г. Горно-Алтайска»



страница1/8
Дата28.08.2017
Размер0,83 Mb.


  1   2   3   4   5   6   7   8
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №12

ГОРОДА ГОРНО-АЛТАЙСКА»

Вневписанная окружность.

Реферат по математике

Воробьев Александр Сергеевич

обучающийся 11 класса

МБОУ «СОШ №12 г.Горно-Алтайска»


Левченко Светлана Николаевна

учитель математики


ВКК

МБОУ «СОШ №12 г.Горно-Алтайска»

Горно-Алтайск 2012

  1. Содержание

  1. Введение 2

  2. Вневписанная окружность как вспомогательный элемент в геометрии треугольника 4

      1. 2.1 Определение вневписанной окружности

      2. 2.2 Свойства вневписанной окружности

  1. Вневписанная окружность в задачах 6

      1. 3.1 Задачи на доказательство

      2. 3.2 Задачи на построение

      3. 3.3 Задачи на вычисление

  1. Программа построения вневписанных окружностей 11

  2. Заключение 12

  3. Список использованной литературы 13

  4. Приложение 14



Введение

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать”. Г. Галилей

Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что можно говорить о «геометрии треугольника».

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня — достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий:


  • три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке-центре описанной около треугольника окружности;

  • биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в треугольник окружности;

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером "(поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта немецким математиком XIX века К. Фейербахом. Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три — вневписанные.

Решение некоторых геометрических задач и, прежде всего, задач на построение, связано с использованием понятия вневписанной окружности, которая представляется изысканным элементом геометрии треугольника. При более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно применять ее в решении геометрических задач.

Цель данной работы: изучить свойства вневписанной окружности и применить их при решении геометрических задач

Задачи:


1. Изучить специальную математическую литературу по данной теме

2. Изложить задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности

3. Доказать свойства вневписанной окружности, показать ее связь с основными элементами треугольника

4. Применить свойства вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

Методы исследования: Изучение специальной литературы, метод анализа, метод систематизации и обобщения

Практическая значимость работы заключается в подборе редкого материала по теме, не изучаемой в школьном курсе геометрии. Можно рассматривать вневписанную окружность как подспорье в решении геометрических задач на уроках, использовать изученный материал для занятий математического кружка и факультатива, применять ее свойства при подготовке к олимпиадам.



Вневписанная окружность представляется в некотором смысле изысканным элементом геометрии треугольника. Знакомство с ней зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач, встречающихся на конкурсных экзаменах. Однако, как нам кажется, «взяв правильный угол сердца» к вневписанной окружности, мы увидим в ней скрытую красоту и силу, станем рассматривать ее как подспорье в решении геометрических задач.



  1. Вневписанная окружность

2.1 Определение вневписанной окружности

Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Отметим, что для каждого треугольника существуют три вневписанные окружности, их радиусы будем обозначать ra, rb и rc в зависимости от того, какой стороны треугольника они касаются.
2.2 Свойства вневписанной окружности

Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника ABC и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем внешние биссектрисы из вершин В и С. Пусть они пересекаются в точке Jа . Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через точку Ja. Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит, расстояния от точки Jа до прямых ВС и АС равны, так как Ja лежит на биссектрисе угла ВСТ1. Ана­логично, равны расстояния от точки Jа до прямых ВС и АВ. Тогда очевидно, что точка равноудалена от пря­мых АС и АВ, т.е. лежит на биссект­рисе угла ВАС.
Из теоремы 1 следует, что существует окружность с центром в точке Ja, касающаяся прямых АС, АВ и ВС.

Теорема 2. Пусть Т1 - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника ABC. Тогда длина отрезка АТ1 равна полупериметру треугольника ABC.

Доказательство. Пусть Т2 и Т3 - точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. Тогда СТ1 = СТ3, ВТ2 = ВТ3 и периметр треугольника ABC равен 2р=АС+ СТ3 + BT3 + АВ=АС+СТ1 + АВ + ВТ2 = AT1 + АТ2. А так как АТ1 = АТ2, то р = AT1 , что и требовалось доказать.

Теорема 3. Площадь S треугольника ABC равна S = rа(р а).


  1   2   3   4   5   6   7   8

  • Содержание Введение 2
  • Вневписанная окружность в задачах 6
  • Программа построения вневписанных окружностей 11 Заключение 12