Преобразование фурье и анализ

Главная страница
Контакты

    Главная страница


Преобразование фурье и анализ



страница1/39
Дата17.12.2017
Размер4,59 Mb.


  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   39
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Кафедра радиофизики

М.Г. Федотов

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И АНАЛИЗ

ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ И СИСТЕМ

(учебное пособие)

Часть I

Новосибирск

2010

Федотов М.Г.

Преобразование Фурье и анализ линейных цепей и систем. Часть 1

В пособии рассмотрены методы анализа распространения сигналов и возмущений через линейные инвариантные по времени и пространственно-инвариантные системы. Кроме того, на примерах простейшей электрической цепи и полупроводникового детектора рентгеновских изображений проиллюстрирована пригодность рассмотренных методов для расчета совершенно разных физических систем.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности "физика"
.
Учебно-методическое пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.

Новосибирский государственный университет, 2010



Введение
Данное пособие является, фактически, расширенным материалом одной лекции, читаемой на физическом факультете НГУ в рамках курса "Основы электротехники и радиоэлектроники".

А причиной, обусловившей выбор темы, стало не совсем удачное (на взгляд автора) представление преобразования Фурье в курсе математического анализа. Этот курс, отличаясь строгостью и последовательностью изложения, заостряет внимание на доказательствах и условиях применимости преобразования. Однако при этом в значительной мере "остаются за бортом" вопросы собственно применения - во всяком случае, оставались во времена студенчества автора.

Вероятно, сейчас ситуация изменилась не сильно - поскольку на очередной консультации перед экзаменом был задан вопрос: "Скажите - вот в программе преобразование Фурье. Да зачем оно вообще надо?".

Автор должен честно признаться, что "зачем" сам он понял только при попытке рассчитать искажения, возникающие в полупроводниковых детекторах рентгеновских изображений. Как оказалось, получавшиеся интегралы не могли быть выражены через простые функции времени или координат - однако они удивительным образом сводились к простейшим функциям при переходе к пространственным и временным частотам. Но поскольку автор не являлся (в значительной мере не является и сейчас) специалистом по работе в частотной области, существенно облегчила ему жизнь и сделала возможным дальнейшее продвижение замечательная книга - двухтомник "У. Прэтт. Цифровая обработка изображений"[1].

Эта книга - нечто среднее между учебником и обзором по методам обработки, и в значительной степени лишена математической строгости и полноты - за что - как признавались автору пособия в частной беседе математики - они ее не очень любят. В то же время изложенный математический аппарат ясно показывает связь между преобразованиями, их свойствами и практическими применениями, что делает книгу популярной у физиков. Во всяком случае, при попытке взять оригинал - "W.K. Pratt. Digital Image Processing" - в билиотеках ЦЕРН'а (Европейского центра ядерных исследований) выяснилось, что все экземпляры уже "куда-то пропали".

Действительно, эта книга сейчас - практически раритет, и может быть найдена разве что в Сети в виде нелицензионной (по нынешнему российскому законодательству) электронной копии. Кроме того, не смотря на широту применений рассматриваемых методов, книга посвящена, прежде всего, узкоспециальной теме - обработке изображений.

Поэтому в предлагаемом пособии предполагается в максимально понятной форме (т.е., как правило, без доказательств) изложить основные вопросы применения преобразования Фурье при анализе линейных инвариантных систем - в том числе, прохождения сигналов в линейных электрических цепях. Пособие будет опираться на математический аппарат и стиль изложения книги У. Прэтта и, от части, ряда других изданий - прежде всего, "У.М. Сиберт. Цепи Сигналы Системы"[2] и "П. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов"[3].

Предполагается, что данный "труд" будет последовательно написан в виде пяти блоков. Первый (предлагаемый в настоящее время вниманию читателей) блок посвящен методам расчета прохождения непрерывных сигналов через линейные системы.



Глава 1

Линейные системы с непрерывными сигналами.
1.1. Математическое представление непрерывных сигналов.
Большинство наблюдаемых процессов и объектов описываются как изменение в пространстве и времени каких-либо величин. Соответственно, таким процессам (объектам) могут быть сопоставлены некоторые функции F(x,y,z,t) трех пространственных координат x,y,z и времени t . В зависимости от конкретного процесса и способа его описания, функция F может быть как скаляром, так и вектором, функцией каких-либо дополнительных переменных или более сложной математической конструкцией.

Если в функции F(x,y,z,t) переменные x,y,z,t можно изменять независимо друг от друга и от других параметров процесса, то о них говорят как о независимых переменных. Если же какие-либо переменные оказываются функциями других переменных или параметров, их называют зависимыми переменными.

Диапазоны значений, в пределах которых могут изменяться переменные, на практике всегда ограничены - размерами объекта, длительностью процесса и временем его наблюдения или, в крайнем случае, величиной вселенной и временем ее жизни. Однако при математическом описании процесса переменные во многих случаях удобно рассматривать как неограниченные (например, изменяющиеся от - до +).

Сигналы и изображения
Сами процессы часто являются распространением каких-либо возмущений (изменений) - температуры, концентрации частиц, напряженности поля, т.д. - и, соответственно, могут описываться как распространение (изменение) некоторых сигналов.

При этом во многих случаях нет необходимости в описании процесса в трехмерном пространстве (т.к. часть переменных - либо зависимы, либо избыточны), и число пространственных переменных функции F(x,y,z,t) может быть уменьшено.



Например, формируемое объективом оптическое изображение есть распределение интенсивности потока излучения I(x,y,t) как функция двух пространственных координат и времени; ток i(t) в ветви электрической цепи есть функция только времени (число пространственных переменных сокращено до нуля).

Кроме того, во многих случаях интерес представляют (или могут регистрироваться) только пространственные распределения некоторых величин. В частности, фотография есть результат регистрации двумерного распределения световой энергии , полученной фотопленкой (или многоэлементным приемником изображения) за время экспозиции t=t2-t1.

В дальнейшем изложении под термином "сигналы" будут подразумеваться функции времени - в первую очередь, как отклик (реакция) Fo(t) физической системы на внешнее воздействие (возмущение) Fi(t).



При этом, в силу действия принципа причинности, в момент времени t1 выходной сигнал Fo(t1) системы может зависеть от сигнала Fi(t) в моменты времени - т.е. от входного сигнала в настоящий момент времени и в прошлом, но не может зависеть от будущих значений Fi(t).

Под "изображением" в дальнейшем, как правило, будет подразумеваться двумерное распределение F(x,y) ("яркость"), соответствующее пространственному распределению мощности какого-либо регистрируемого излучения. Аргумент t обычно будет опускаться, т.к. большинство систем регистрации и воспроизведения изображений работают либо с фиксированным (неизменным) изображением (фотография), либо с дискретным временем (кинематограф, телевидение).



Поскольку регистрируемая мощность всегда положительна1, значение интенсивности (яркости) идеального изображения также всегда положительно. Как следствие, среднее значение яркости идеального изображения, определяемое как

(1.1.1)

(где S - площадь изображения), всегда >0.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   39

  • М.Г. Федотов ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ И СИСТЕМ (учебное пособие) Часть I
  • Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности "физика" .
  • Глава 1 Линейные системы с непрерывными сигналами. 1.1. Математическое представление непрерывных сигналов.
  • Сигналы и изображения