Лаврентьев в. А

Главная страница
Контакты

    Главная страница


Лаврентьев в. А



страница38/63
Дата08.04.2018
Размер8,79 Mb.


1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   ...   63

Раздел 6. Оптимизация функций по построению тарифов рисковых видов страхования и страхования жизни

6.1. Анализ методов оптимизации экономических процессов


Оптимизация-это процесс или процедура установления таких значений переменных в оптимизируемом объекте характеризующих эффективное состояние объекта, при которых эффективность работы объекта стремится к max/min и выполняются накладываемые на процедуру оптимизации ограничения [21,22].

Оптимальное программирование-это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определенных ограничительных условиях. Оптимальное программирование -действенный инструмент эффективного решения задач управления. В их числе - линейное, нелинейное, динамическое, стохастическое, выпуклое, квадратичное, параметрическое, блочное, целочисленное (дискретное) программирование и др. Название указанного комплекса методов обусловлено тем, что в процессе их использования получаются оптимальные решения, но для выхода на такие решения необходимо выполнить ряд действий по определенной программе. Решаемые на оптимум задачи называются экстремальными, в них требуется отыскать максимум или минимум некоторой целевой функции.



Естественно, при большом количестве решений выбирается наилучшее. Математически это обычно сводится к нахождению наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, т. е. к задаче : найти max (min) f(x) при условии , что переменная х (обычно говорят - точка х) пробегает некоторое данное множество X. Пишут так:

(13)

определенная таким образом задача называется задачей оптимизации. Множество X называется допустимым множеством данной задачи, а функция f(x)- целевой функцией.

В подавляющем большинстве случаев точка х задается набором из нескольких чисел:

х=(х1, х2,...,хп),

т.е. является точкой п - мерного арифметического пространства Rn. Соответственно множество X есть подмножество в Rn.



Очень многое зависит от того, в каком виде задается допустимое множество X. Во многих случаях X выделяется из Rn с помощью системы неравенств (нестрогих):

(14)

где g1,g2,...,gm - какие-то заданные функции в Rn.



Иначе говоря, X есть множество точек (x1,X2,...,xn) Rn, удовлетворяющих системе неравенств (14)

В этом случае задача оптимизации приобретает следующий вид. Даны функция п переменных f(x1x2,...,хп) и система неравенств (14). требуется найти max(min) f при условиях (14):



f(x1,x2, ...,xn) max(min) при условиях (14).

понятно, что следует найти не только само значение max(min) f, но и точку или точки, если их несколько, в которых это значение достигается. Такие точки называются оптималънъши решениями. Множество всех оптимальных решений будем называть оптимальным множеством и обозначать X*.



Следует отметить, что задача минимизации может быть сведена к задаче максимизации путем соответствующего преобразования - умножения коэффициентов целевой функции на -1.

Задачи подобного рода получили название задачи математического программирования. При этом функцию f называют целевой функцией, а неравенства gi 0 (i=1,2,...,т)- ограничениями. В большинстве случаев в число ограничений входят условия неотрицательности переменных:

(15)

или части переменных, но это, впрочем, не обязательно.

В зависимости от характера функций f, g1,...,gm различают разные виды математического программирования. Наиболее простой и часто встречающийся случай, - когда эти функции являются линейными, т.е. каждая из них имеет вид:

a1x1+a2x2+...+anxn+b (16)

Тогда говорят о задаче линейного программирования.

В любых математических моделях можно выделить следующие элементы: исходные данные, зависимости, описывающие целевую функцию и ограничения.

Изучение экономических явлений показывает, что в экономических системах зависимости, как правило, очень сложны и имеют нелинейный характер. Приведение этих зависимостей к линейным огрубляет и тем самым упрощает модель системы или явления. При этом в некоторых случаях такое упрощение не искажает существенно получаемые результаты и потому является приемлемым. В других же случаях получаемые результаты настолько далеки от реальности, что применение линейного программирования просто исключается.

Если в системе равенств или неравенств содержатся случайные элементы, но зависимости между переменными - линейные, то такая задача решается методами стохастического программирования.

Если при нахождении неизвестных переменных необходимо, чтобы одна го них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае при решении поставленной задачи необходимо использовать методы целочисленного программирования.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда зависимости между переменными носят нелинейный характер. При этом возможны различные ситуации: целевая функция линейная, нелинейные ограничения; линейны ограничения (или хотя бы одно из них ), а функция нелинейная; нелинейные и ограничения, и целевая функция.

Выпуклое программирование представляет собой совокупность специальных методов решения нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевые функции, либо ограничительные условия.

Квадратичное программирование- это совокупность методов решения особого класса экстремальных задач, в которых ограничительные условия линейны, а целевая функция является многочленом второй степени.

Методы динамического программирования могут применяться для решения таких оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс производства или управления в пространстве или во времени, т.е. в развитии.

В моделях реальных экономических систем коэффициенты целевой функции или ограничительные условия могут являться не постоянными величинами, а изменяться от различных факторов в течение периода времени, для которого решается экстремальная задача: формирование производственной программы для предприятия, на котором ведется реконструкция, определение величины дополнительных капитальных вложений в условиях замены технологических процессов обработки изделий и т.д. Для реализации такого рода задач эффективно использовать методы параметрического программирования.

Модели, содержащие большое число показателей, очень сложны в реализации, поэтому в тех случаях, когда это возможно, их преобразуют в несколько моделей меньшей размерности, тем самым разлагают задачу. Полученные локальные задачи решаются совместно по специальным правилам. Методы позволяющие решать задачи в рассмотренном порядке, относятся к методам блочного программирования.



1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   ...   63