Лаврентьев в. А

Главная страница
Контакты

    Главная страница


Лаврентьев в. А



страница32/63
Дата08.04.2018
Размер8,79 Mb.


1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   63

  1. р (а, b) = р (b, а), a, bА:

Определение 1. Множество В, ВА, содержащее более одного элемента, назовем группой, если для любых эле­ментов а и b этого множества существует последователь­ность с1, с2, . . ., сm, где ciВ, i = 1, m, c1 = a, cm = b такая, что

min р (ci, ci+1) > mах р (d, l.).

1i<m dB

lA\B

Определение 2.



Пусть a, bA. Будем называть b соседом а, если max р (а, с) = р (а, b), и обозначать аb.

cA\a

Укажем па очевидное свойство группы: любой элемент входит в группу вместе со всеми своими соседями.



Нас будут интересовать разбиения множества А па попарно непересекающиеся группы. Опишем способ полу­чения в некотором смысле максимально возможного раз­биения. Существенную роль здесь играет понятие псевдо­группы.

Определение 3. Множество D, DА называется псев­догруппой, если любой элемент этого множества входит в пего вместе со всеми своими соседями.

Само А, очевидно, обладает свойствами псевдогруппы. Обозначим через ГА множество всех возможных разбие­ний А па попарно непересекающиеся псевдогруппы. По­пятно, что в силу конечности А ГА также конечно. На мно­жестве ГА естественным образом введем частичную упо­рядоченность. Пусть Г1 Г2ГА. Будем говорить, что Г1 предшествует Г2, если любой элемент Г1 можно пред­ставить в виде объединения элементов из Г2,. В этой сово­купности разбиений есть минимальное: им является раз­биение, которое содержит только один элемент — само множество А. Оказывается, что и максимальное разбие­ние является единственным. Докажем соответствующее утверждение.

Определение 4. Пусть DА1. Будем называть элемент С соседом D, если

max р1(D, Е) = р1 (D, С).



EA1,

Далее аналогично можно, ввести определение псевдо­группы и показать, что будут справедливы результаты, полученные ранее, за тем исключением, что псевдогруппы, построенные па элементах множества А1 могут содер­жать только один элемент. Этот элемент обладает сле­дующим свойством: он имеет единственного соседа и этот сосед — он сам. Установим важную связь между раз­биением множества А на группы и множества A1 на псевдогруппы.



1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   63